Home Matematik Makale Limit Kavramının Matematikteki Yeri
Nis 24 2013

Limit Kavramının Matematikteki Yeri

 

· Limit Kavramının Önemi

Süreklilik, türev, diferansiyel, integral gibi analizin temel kavramları ve devamında diziler, seriler, yakınsama ya da ıraksama gibi kavramlar limit kavramı ile tanımlanır ve anlam kazanırlar. Bu nedenle limit analizin en temel kavramı ve yapıtaşlarından biri olarak görülür. Çünkü limit analizdeki pek çok üst kavramın dayanağı olarak ödevini üstlenmektedir. Yaklaşım bu olunca, analizin düzenli ve mantıklı gelişimi açısından limit kavramının mutlaka çok iyi oluşturulması ve anlaşılması gereği daha net olarak ortaya çıkar (Bukova, 2006).

Süreklilik, türev, integral kavramlarının doğrudan doğruya limit kavramına bağlı olduğu bilinmektedir. Benzer biçimde sayı kavramının genişletilmesi de limit ile doğrudan bağlantılıdır ve limit kavramında oluşmuş her türlü eksiklik sayı kavramının genişletilmesini de engeller. Daha açıkçası, toplama, çıkarma, çarpma ve bölme işlemlerinin “Temel Matematik” çalışmalarında üstlendiği görevi, daha üst düzey matematikte “limit” üstlenir denebilir. O nedenle, matematikçiler “limit” kavramını matematiğin “beşinci işlemi”i olarak adlandırırlar. (Bukova, 2006)

· Limit Kavramının Tarihteki Yeri

Tüm bu önemine karsın yıllarca, limit kavramı kimi zaman sonsuzluk düşüncesi ve belirsizlik ile kimi zaman da hayali ve tanımlanamayan geometrik sezgilerle karıştırılmıştır. Günümüzdeki anlamı ile limit kavramı ve gösterimleri 18.yy sonu ile 19. yy baslarında Avrupa’da gelişen bilimin ürünü olarak ortaya çıkmıştır. Bu nedenle günümüzde kullanılan çağdaş limit tanımı, yalnızca yaklaşık 150 yıllık bir geçmişe sahiptir. (Bukova, 2006)

Limitle ilgili çalışmalarda ‘iki sayının aynı sayıya eşit olamayacak olacak kadar en fazla ne kadar birbirlerine yaklaşabilecekleri’ ve ‘bir doğal sayının 0’a eşit olmadan ne kadar küçük olabileceği’ soruları, limit kavramının tarihsel gelişimine önemli katkılar sağlamıştır (Özmantar ve Yeşildere, 2008).

· Limit Kavramının Ortaya Çıkışı

Limit kavramının gerekliliği ilk olarak, Zeno’nun (M.Ö. 490-430) dört paradoksunun çözümünde kendini göstermiştir. Zeno ilk paradoksunda, aralarında belli bir uzaklık bulunan iki noktanın birinden diğerine doğru hareket eden bir nesnenin, her defasında kalan yolun yarısını almak koşuluyla, bitiş noktasına ne zaman ulaşacağı sorusuna karşılık bulmaya çalışmıştır. Nesnenin ikinci noktaya ulaşamayacağı sonucu, sonsuz serilerin toplamlarının limitinin sezgisel olarak kavranmasının imkânsızlığını, yani hareketi tamamlamanın imkânsızlığını belirtmektedir (Boyer, 1969; akt. Bukova, 2006). Daha sonraları, Aristotales felsefi düşünceleri ile Zeno’nun paradokslarının yanlış olduğunu kanıtlamıştır. Zeno'nun örneğinde "uzaklık" kavramının sonlu ötesi küçük parçalara ayrılması çelişkiyi yaratmaktadır. Oysa sonsuz serilerin yakınsaklığı kavramı bilinince Zeno'nun doğru düşüncesinden hareketle onun vardığı yanlış hükme varılmayacağını bugün çok iyi biliyoruz. Ama eski çağ düşünürleri benzer çelişkilerden sakınmak için, yüzyıllar boyunca, "sonsuz" kavramını konu dışı tutmuşlardır (Karaçay, 2004).

Sonsuz demişken bir parantez açıp, sonsuzlukla ilgili tarihsel sürece kısaca göz gezdirelim. 17. yüzyılda, matematik analizin bir aracı olarak "sonsuz küçük" ve "sonsuz büyük" kavramları geniş ölçüde kullanılmaya başlanmıştır. Bu tür gizil (potansiyel) sonsuzluk kavramı güvenle kullanılırken, "sonsuz öğeli küme" kavramı 19. yüzyılın ortalarına dek dokunulmaz (tabu) bir kavram olarak kalmıştır. Bu tarihlerde, Çek bilgini B. Bolzano, sonsuz kümelere ilk el atan matematikçi olmuştur. Daha sonra, Alman matematikçisi George Cantor (1845-1918) sonsuz kümeler kuramını mükemmel bir biçimde kurmuştur. Sonlu kümelerin özelikleri o zamanlar zaten bilinmektedir. Cantor, sonsuz kümelerin sonlu kümelerden çok farklı ve o zaman için olağan dışı sayılan özeliklere sahip olduğunu ortaya koymuştur. (Karaçay, 2004)Matematikte limitin doğru bir şekilde kullanılması sonucunda Zeno’nun paradokslarında ortaya çıkan sorunları çözebilmiştir (Davis ve Hersh, 1981; akt. Bukova, 2006).

Zeno ve Aristolales (M.Ö. 384-322)’den sonra, Archimedes (M.Ö. 287-212) de kendi tükenme yöntemi (the method of exhaustions) ile Zeno’nun paradokslarının üstesinden gelmiştir. Archimedes alan ve hacim formüllerinin ispatlarında çok sayıda terimi içeren değişik sonsuz serilerin toplamları ile karsılaşmıştır. Bu problemlerin çözümü için, Archimedes, limit kavramı olmaksızın, günümüzde limit olarak sözünü ettiğimiz bazı teknik detayları birleştirdiği double reductio ad absurdum olarak adlandırılan çok önemli bir yapıtta ortaya koymuştur (Bukova, 2006). Limit kavramı Archimedes (M.Ö. 287-212) tarafından eğrisel kenarlara sahip şekillerle ilgili olan teoremlerde kullanılmıştır.

Fermat (1601-1665) belli bir eğrinin maksimum ve minimum noktalarını bulmak için “adequality” olarak adlandırdığı cebirsel bir yöntem geliştirmiştir. Burada bir denklem ile bir eğriyi tanımlarken, çok küçük sayıları temsil eden E değerini kullanmıştır. Mantıklı cebirsel hesaplamalar yaptıktan sonra, E=0 varsayımında bulunarak, E nin göründüğü terimlerin hepsinin yok olmasını sağlamıştır. Geometrik olarak da çalışmalar yapan Fermat, bir eğri boyunca maksimum ve minimum noktalarından eğriye çizilen teğet doğrularının eğimlerinin sıfır olduğunu gösterme girişiminde bulunmuştur (Bukova, 2006).

Newton (1642-1727) da diferansiyel ve integral hesabın bulunmasında, değişken, fonksiyon ve limit kavramını kullanmıştır. Limit düşüncesi ve kavramı üzerinde Newton’un yanı sıra Leibniz (1646-1716) de çalışmıştır (Fenwick, 2005). Ancak, Newton’un bu sahada daha başarılı olduğu söylenir. Her ikisi de aynı zamanda birbirlerinden habersiz az çok farklılık gösteren yöntemleriyle diferansiyel ve integral hesabı bulmuşlardır. Newton ve Leibniz’in çalışmalarından sonra, Cauchy (1789-1857) ve Gauss (1777-1855)’da limit kavramının sayısal olarak bulunması yönünde önemli çalışmalar yapmışlardır (Fenwick, 2005).

Limit kavramı, günümüzdeki anlamına, büyük ölçüde, Karl Weirstrass (1815-1897)’ın çalışmalarıyla ulaşmıştır. Weirstrass derslerinde, çözümlemenin yeniden doğmasına önemli katkılarda bulunmuştur. Bolzano, Abel ve Cauchy’nin başlattığı çalışmaları kurallara bağlama çabasını geliştirerek, bir sayı dizisinin limiti, sürekli değişken vb. kavramlara ilişkin henüz yeteri kadar açık olmayan formülleri aritmetik eşitsizlikler biçiminde ifade etmiştir. Aynı zamanda da limit kavramına ilişkin δ-ε gösterimini geliştirmiştir (Sanchez, 1996). Ayrıca yüzyıllar önce F. Viete (1540 - 1603) sonsuz geometrik dizilerin toplamını hesaplamıştır (Bagni, 2004)